Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．

（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C→B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距离为；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；

（3）在（2）的情形下，连PQ，则当△MPQ的面积等于四边形MPAQ的面积的一半时，四边形MPAQ的形状为 ， 此时BP= ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

答：四边形MPAQ的面积S不变．

解法1：连接AM，

∵AB=AC=2，∠A=90°，

∴S△ABC= ABAC= ×2×2=2

又由（1）知，点M是BC中点

∴∠CAM=∠BAM=∠B=45°，AM⊥BC，

∴AM=BM，∠BMP+∠PMA=90°

∴S△ABM= S△ABC=1

又∠AMQ+∠PMA=90°

∴∠AMQ=∠BMP

∴△AMQ≌△BMP

∴S四边形MPAQ=S△ABM=1，

解法2：如图3，作MD⊥AC于D，作ME⊥AB于E，

∵AB=AC=2，∠A=90°

∴∠B=∠C=45°，四边形ADME是矩形，

S△ABC= ABAC= ×2×2=2

又∵点M是BC中点

∴Rt△CMD≌Rt△BME

∴四边形ADME是正方形，易求S正方形ADME= S△ABC=1

∴MD=ME，∠DMQ+∠QME=90°，

又∠EMP+∠QME=90°

∴∠DMQ=∠EMP

∴△DMQ≌△EMP

∴S四边形MPAQ=S正方形ADME=1，

（3）正方形；1
【解析】（1.）解：（1）BC= =2 ，
∴CM= BC= 故三角板沿C→B方向平移的距离为： ；
所以答案是： ；
（3.）设AQ=PB=x，AP=2﹣x，
S△MPQ=S四边形MAPQ﹣S△APQ=1﹣ AQAP=1﹣ x（2﹣x）= x2﹣x+1=
解得，x=1．
∴PB=1，
∴AQ=PB=AP=1，
∴点P是AB的中点，
∵M是BC中点，
∴PM∥AQ，
∴∠MPA=90°，
∵∠PAQ=∠PMQ=90°，
∴四边形MPAQ是矩形，
∵AQ=AP，
∴矩形MPAQ是正方形，
所以答案是：正方形，1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对相似三角形的性质的理解，了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．