Question

【题目】ABCD中，E是CD边上一点，
（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是 ， ∠AFB=∠ .
（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.
（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2 ．

Answer 1

【答案】
（1）BF.,AED.
（2）解：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，

则∠D=∠ABE=90°，

即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，

∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45°，

∴∠PAQ=∠PAE，

在△APE和△APQ中

∵ ，

∴△APE≌△APQ（SAS），

∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ，

∴DQ+BP=PQ.

（3）

解：四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，

则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，

与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，

∴△BMK为直角三角形，

∴BK2+BM2=MK2，

∴BM2+DN2=MN2.

【解析】（1）如图1，∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

故答案为：BF，AED.
（1）如图1，直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED．
（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，

则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ.
（3）根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证△AMN≌△AMK，得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等量代换即可得到BM2+DN2=MN2.