Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=﹣1，求的值．

Answer 1

【答案】（1）D到点D1所经过路径的长度为π；（2）（负根已经舍弃）．

【解析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出，可得CE=，由-1推出，推出A1C=，推出BH=A1C=，可得m2-n2=6，可得1-=6，由此解方程即可解决问题；

（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．

∴AD=HA1=n=1，

在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，

∴BA1=2HA1，

∴∠ABA1=30°，

∴旋转角为30°，

∵BD=，

∴D到点D1所经过路径的长度=

（2）∵△BCE∽△BA2D2，

∴，

∴CE=

∵-1

∴，

∴A1C=，

∴BH=A1C=，

∴m2-n2=6，

∴m4-m2n2=6n4，

1-=6，

∴（负根已经舍弃）．