Question

【题目】已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣1；（2）抛物线解析式为：y=

【解析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m

（2）由∠APQ=90°，构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．

（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE⊥AF于点E.

设AC=n，则CD=n

∵点B坐标为（0，-1）

∴CH=n+1，AF=m+1

∵CH∥AF，BC=2AC

∴，即：

整理得：

n=

Rt△AEC中，

CE2+AE2=AC2

∴5+（m-n）2=n2

把n=代入，得：

解得m1=5，m2=-3（舍去）

∴n=3

∴把A（3，5）代入y=kx-1得

k=

∴y=x-1

（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E

设点P坐标为（2，n），由已知n＞0

由已知，PD⊥x轴，易证△PQD∽△APE，

∴，

∴，

解得n1=7，n2=-2（舍去）.

设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k

∴y=a（x-2）2+5

把A（3，5）代入y=a（x-2）2+7

解得a=-

∴抛物线解析式为：y=-x2+x1