Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．

Answer 1

【答案】AD=6．

【解析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．解Rt△AEB，得出BE=ABcos∠ABE=，AE=，那么AF=AE-EF=．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=．解Rt△ADF，即可求出AD==6．

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，

∴∠C=180°-∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．

作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．

在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，

∴BE=ABcos∠ABE=，

∴AE=，

∴AF=AE-EF=．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，

∴∠ABC+∠ADF=90°，

∵cos∠ABC=，

∴sin∠ADF=cos∠ABC=．

在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，

∴AD=．