Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E， 延长DE到点F，使得EF=DE，连接AF，CF．

（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=8，∠BAC=30°，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示．

（2）证明：∵DE⊥AC，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC，

∵AD=DB，

∴AE=EC，∵ED=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥DF，

∴四边形ADCF是菱形．

（3）解：在Rt△ACB中，∵AB=8，∠BAC=30°，

∴BC= AB=4，AC= BC=4 ，

∵AE=EC，AD=DB，

∴DE= BC=2，

∴DF=2DE=4，

∴S菱形ADCF= ACDF= ×4 ×4=8 ．

【解析】（1）根据题意画出图形即可；（2）首先证明AE=CE，DE=EF，推出四边形ADCF是平行四边形，再根据AC⊥DF，推出四边形ADCF是菱形；（3）求出菱形的对角线的长即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直角三角形斜边上的中线的相关知识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．