Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，请探究：
（1）求证：△DFE是等腰直角三角形；
（2）四边形CEDF的面积是否发生变化？若不变化，请求出面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB，

∵AE=CF，

在△ADE与△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=90°，

∴DE⊥DF，

∴△DFE是等腰直角三角形；

（2）解：四边形CEDF的面积不发生变化．

理由：∵△ADE≌△CDF，

∴S△CDF=S△ADE

∴S四边形CEFD=S△ADC．

∴四边形CEDF的面积是为定值，

∴四边形CEDF的面积为 × ×4×4=4

【解析】（1）连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DF=DE．所以△DEF是等腰直角三角形；（2）由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变，利用三角形的面积公式求出答案．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能正确解答此题．