Question

【题目】把2016个正整数1、2、3、4、……、2016按如图方式排列成一个表，用一方框按如图所示的方式任意框住9个数．（方框只能平移）

（1）若框住的9个数中，正中间的一个数为39，则：这九个数的和为__________．

（2）方框能否框住这样的9个数，它们的和等于2016？若能，请写出这9个数；若不能，请说明理由。

（3）若任意框住9个数的和记为S，则：S的最大值与最小值之差等于__________．

Answer 1

【答案】（1）351（2）不能框住这样的9个数，它们的和等于2016（3）17991

【解析】

（1）找出所框数字上下两行间的数量关系，左右数字间的数量关系，即可写出另外的八个数，进而求出它们的和；

（2）由（1）可知方框框住这样的9个数的和是正中间的一个数的9倍，代入2016求出中间的数，由224÷7=32，可得出224为32行的第7个数，即2016后面不存在数，从而得出方框框不住这样的9个数．它们的和不能等于2016；

（3）S取最大值时9个数中，正中间的一个数为2008，S取最小值时9个数中，正中间的一个数为3，即可求得S的最大值与最小值，相减即可．

（1）中间一个数是39，则其他八个数分别是31,32,33,38,40,45,46,47，它们的和是351；

﹙2﹚设框住的9数中中间的数为a，则这9数之和为﹙a－8﹚＋﹙a－7﹚＋﹙a－6﹚＋﹙a－1﹚＋a＋﹙a＋1﹚＋﹙a＋6﹚＋﹙a＋7﹚＋﹙a＋8﹚＝9a

9a＝2016，

a＝224，

∵224＝7×32，

∴224是表中第32排的最后一个数，

∴不能框住这样的9个数，它们的和等于2016；

（3）S取最大值时9个数中，正中间的一个数为2008，S取最小值时9个数中，正中间的一个数为9，则S最大-S最小=9×2008-9×9=17991，

故答案为：17991