Question

【题目】如图，已知△ABD和△AEC中，AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，CD、 BE相交于点P．

（1）用全等三角形判定方法证明：BE＝DC

（2）求∠BPC的度数；

（3）在（2）的基础上，经过深入探究后发现：射线AP平分∠BPC，请判断你的发现是否正确，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BPC=120°；（3）见解析.

【解析】

（1）根据已知条件证明△ABE≌△ADC，即可得到BE=DC

(2)设AB与DC相交于F，根据（1）问，∠ABE=∠ADC，在△AFD与△PFB中，对等角相等，从而得到∠BPD=∠DAB，从而得到∠BPC的度数.

(3)应用到角两边的距离相等的点，在这歌角的角平分线上来证明，作垂线证明全等即可.

（1）证明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE与△DAC中，
AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，

∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（2）∵△ABE≌△ADC
∴∠ABE=∠ADC，
设AB与DC相交于F，
∴∠AFD=∠PFB，
∴∠BPD=∠DAB=60°，
∴∠BPC=120°；
（3）证明：作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
在△AMD与△ANB中，
∠ABE=∠ADC，∠ABE=∠ADC，AD=AB，

∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
在RT△AMP与RT△ANP中
AM=AN，AP=AP，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴∠APM=∠APN，
∴PA平分∠DPE．