Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．

（1）求证：DE=AB．
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，

∴∠EAD=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°，

在△ADE和△FAB中， ，

∴△ADE≌△FAB（AAS），

∴DE=AB

（2）解：连接DF，如图所示：

在△DCF和△ABF中， ，

∴△DCF≌△ABF（SAS），

∴DF=AF，

∵AF=AD，

∴DF=AF=AD，

∴△ADF是等边三角形，

∴∠DAE=60°，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∵△ADE≌△FAB，

∴AE=BF=1，

∴DE= AE= ，

∴ 的长= = ．

【解析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出 的长．
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．