Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE、BE．作BF⊥AE于点F．
（1）求证：BF=AD；
（2）若EC= ﹣1，∠FEB=67.5°，求扇形ABE的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，

∴∠AED=∠FAB，

∵BF⊥AE，

∴∠AFB=∠D=90°，

由作图可知，AB=AE，

在△ABF和△ADE中，

，

∴△ABF≌△ADE（AAS），

∴BF=AD

（2）解：∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE=67.5°，

∴∠EAB=45°，

∴∠DEA=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=AE，

设AE=x，则DE=x﹣ +1，

∴x= （x﹣ +1），

∴x= ，

∴AE= ，

∴扇形ABE的面积= = π

【解析】（1）利用矩形的性质得出AB∥DC，∠D=90°，再利用全等三角形的判定得出△ABF≌△ADE进而得出答案；（2）根据等腰三角形的性质得到∠AEB=∠ABE=67.5°，由三角形的内角和得到∠EAB=45°，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AD=AE，根据等腰直角三角形的性质列方程得到AE=2，于是得到结论．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．