Question

【题目】已知，，点是直线上一个动点（不与重合），点是边上一个定点， 过点作，交直线于点，连接，过点作，交直线于点．

如图①，当点在线段上时，求证：．

在的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？ 如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．

如图②，当点在线段 的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立， 请直接写出之间的关系．

）当点在线段的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接 写出之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）这三个角的度数和为一个定值，是，证明详见解析；（3）成立；（4）不成立，正确结论为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

【解析】

（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．

（2）过点作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．

（3）过点作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．

（4）过点作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．

（1）∵

∴

∵

∴

∴

（2）这三个角的度数和为一个定值，是

过点作交BE于点H

∴

∵

∴

∴

∴

即

（3）过点作交BE于点H

∴

∵

∴

∴

∴

即

故的关系仍成立

（4）过点作交BE于点H

∴∠DEC=∠EGH

∵

∴

∴∠HGF+∠BFG=180°

∵∠HGF=∠EGF-∠EGH

∴∠HGF=∠EGF-∠DEC

∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°

故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°