Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，已知点A（0，10），点B（m，10）在第一象限，连接AB、OB．

（1）如图1，若OB=12，求m的值．

（2）如图2，当m=10时，过B作BC⊥x轴于C，E为AB边上一点，AE=，把△OAE沿直线OE翻折得到△OFE（点A的对应点为点F），连接BF、CF，求证：BF⊥CF．

（3）如图3，将△AOB沿直线OB翻折得到△GOB（点A的对应点为点G），若点G到x轴的距离不大于8，直接写出m的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（1）m=；（2）证明见解析；（3）≤m≤30

【解析】

（1）根据勾股定理计算AB的长，可得m的值；

（2）过点F作FM⊥AB，延长MF交OC于点N，由折叠性质可知：EF=AE=，OF=OA=10，∠EFO=∠OAE=90°，然后根据正方形的性质和AA定理证得△EFM∽△FON，设FM=x，根据相似三角形的性质求得，然后利用勾股定理列方程求解x的值，从而求得MF=2，NF=8，ON=6，NC=4，然后再利用勾股定理求得、，，从而利用勾股定理逆定理判定△BCF是直角三角形，从而求解；

（3）由条件可知点G的纵坐标大于或等于-8小于或等于8．分别计算点G的纵坐标为8和-8时m的值可得m的取值范围．

解：（1）由A（0，10），点B（m，10）可知AB⊥y轴，

∵OB=12，OA=10，

∴在Rt△AOB中，AB=，

∴m=；

（2）过点F作FM⊥AB，延长MF交OC于点N

由折叠性质可知：EF=AE=，OF=OA=10，∠EFO=∠OAE=90°

由题意可知，当m=10时，四边形AOCB是正方形且MN⊥AB

∴MN⊥OC

∴∠EMF=∠FNO=90°

又∵∠EFM+∠OFN=90°，∠OFN+∠FON=90°

∴∠EFM=∠FON

∴△EFM∽△FON

设FM=x，则FN=10-x

∴，即，解得：

∴在Rt△FON中，

解得：x=0（舍去）或x=2

∴MF=2，NF=8，ON=6，NC=4

在Rt△EFM中，

∴

在Rt△MFB中，

在Rt△FNC中，

又∵BC=10=100

∴BF+CF=BC

∴△BCF是直角三角形

即BF⊥CF

（3）由条件可知点G的纵坐标大于或等于-8小于或等于8．

①当点G的纵坐标为8时，如图，过点G作GK⊥x轴于K，交直线AB于R，

在Rt△OGK中，OG=OA=10，GK=8，可求OK=AR=6，RG=2，

∵BA=BG=m，BR=6-m，

在Rt△BRG中，由，

解得：m=；

②当点G的纵坐标为-8时，如图，过点G作GE⊥x轴于E，交直线AB于R，

在Rt△OGE中，OG=OA=10，GE=8，

∴OE=AR=6，RE=OA=10，

∴GR=EG+RE=18，

∵∠BGR+∠OGE=∠OGE+∠EOG=90°，

∴∠BGR=∠EOG，

∵∠BRG=∠OEG=90°，

∴△BRG∽△EOG，

∴，即，

解得：BR=24，

∴BA=m=AR+BR=6+24=30，

综上所述：当≤m≤30时，点G到x轴的距离不大于8．

故答案为：≤m≤30．