Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HGHB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ABC=90°，

∴∠EBF=90°，

∵DF⊥AC，

∴∠ADF=90°，

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，

∴∠C=∠BFE，

在△ABC与△EBF中， ，

∴△ABC≌△EBF

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB

证明如下：∵OB=OF，

∴∠OBF=∠OFB，

∵∠ABC=90°，AD=CD，

∴BD=CD，

∴∠C=∠DBC，

∵∠C=∠BFE，

∴∠DBC=∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，

∴∠DBO=90°，

∴BD与⊙O相切

（3）解：如图2，连接CF，HE，

∵∠CBF=90°，BC=BF，

∴CF= BF，

∵DF垂直平分AC，

∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，

∴BF= +1，

∵△ABC≌△EBF，

∴BE=AB=1，

∴EF= = ，

∵BH平分∠CBF，

∴ ，

∴EH=FH，

∴△EHF是等腰直角三角形，

∴HF= EF= ，

∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，

∴△BHF∽△FHG，

∴ ，

∴HGHB=HF2=2+ ．

【解析】（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得BF= +1，有勾股定理解出EF = ，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF= EF= ，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．