Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，

∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，

∴∠ADP=∠DEC．

（2）解：如图1中，

当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α

∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，

∴PM=PQcosα= y，PN= × （3﹣x），

∴ （3﹣x）+ y=x，

∴y= x﹣ ，

当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，

∴PN=DM，

∵DM= （3﹣x），PN=PQsinα= y，

∴ （3﹣x）= y，

∴y=﹣ x+ ．

综上所述，y=

【解析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；
【考点精析】本题主要考查了函数关系式和解直角三角形的相关知识点，需要掌握用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．