Question

【题目】如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD= ，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：设∠BAD=α，

∵AD平分∠BAC

∴∠CAD=∠BAD=α，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°﹣2α，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴∠DBE=2α，

∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，

∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，

∴∠D=∠BED，

∴BD=BE

（2）解：设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∵BD=BE，DE=2，

∴FE=FD=1，

∵BD= ，

∴tanα= ，

∴AB= =2

在Rt△ABC中，

由勾股定理可知：（2x）2+（x+ ）2=（2 ）2，

∴解得：x=﹣ 或x= ，

∴CE= ；

【解析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD= ，所以tanα= ，从而可求出AB= =2 ，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．