Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0， ）
（1）若此抛物线经过点B（2，﹣ ），且与x轴相交于点E，F．
①填空：b=（用含a的代数式表示）；
（2）若a= ，当0＜x＜1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）[ "﹣2a﹣1
②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；
解：由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+ ，
令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+ =0，
∵△=（2a+1）2﹣4a× =4a2﹣2a+1=4（a﹣ ）2+ ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2 ，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= =（ ﹣1）2+3，
∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+ （2）

解：当a= 时，抛物线解析式为y= x2+bx+ ，

∴抛物线对称轴为x=﹣b，

∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，

当x=0时，y= ，当x=1时，y= +b+ =2+b，当x=﹣b时，y= （﹣b）2+b（﹣b）+ =﹣ b2+ ，

①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在0＜x＜1范围内，满足条件；

②当|﹣ b2+ |=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在0＜x＜1范围内，故不符合题意，

综上可知b的值为1或﹣5

【解析】解：（1.）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0， ），
∴c= ，
∵抛物线经过点B（2，﹣ ），
∴﹣ =4a+2b+ ，
∴b=﹣2a﹣1，
所以答案是：﹣2a﹣1；