Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2-4ax+3a-2（a≠0），其顶点为C，直线l：y=ax-2a+1（a≠0）与x轴、y轴分别交于A，B两点．

（1）当抛物线G的顶点C在x轴上时，求a的值；

（2）当a＞0时，若△ABC的面积为2，求a的值；

（3）若点Q（m，n）在抛物线G上，把抛物线G绕着点P（t，-2）旋转180°，在1≤m≤3时，总有n随着m的增大而增大，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）-;（2）或1；（3）当a＞0时，t的取值范围是t≥2.5；当a＜0时，t的取值范围是t≤1.5．

【解析】

（1）首先利用配方法将抛物线的解析式变形为y=a（x-2）2-a-2，从而可得到抛物线的顶点坐标，然后依据顶点纵坐标为0可求得a的值；

（2）先求得A、B两点的坐标（用含a的式子表示），设直线l与抛物线G的对称轴x=2交于点D，则CD=a+3，①当0＜a≤时，S△ABC=S△ADC-S△BCD；当a＞时S△ABC=S△BCD-S△ACD，然后列出关于a的方程求解即可；

（3）先求得抛物线G′的顶点坐标（用含t的式子表示），然后分为a＞0和a＜0两种情况时，最后，依据G′的增减性可得到关于t的不等式，从而可求得t的范围．

（1）y=ax2-4ax+3a-2=a（x-2）2-a-2．

∴顶点C的坐标为（2，-a-2）．

∵顶点C在x轴上

∴-a-2=0，解得：a=-2．

（2）y=ax-2a+1与x、y轴分别交于A、B两点

∴A（，0），B（0，-2a+1），

设直线l与抛物线G的对称轴x=2交于点D，

直线x=2与x轴交于点H，则D（2，1），H（2，0），DC=1-（-a-2）=a+3．

①当0＜a≤时，如图1所示：

S△ABC=S△ADC-S△BCD．

∴=2，解得：a=（负值已舍去）

②当a＞时，如图2所示：

∵S△ABC=S△BCD-S△ACD=CDOH-CDAH=CDAO，

∴=2，

解得：a3=1，a4=-（舍去负值）

综上所述：a的值为或1．

（3）解：y=ax2-4ax+3a-2=a（x-2）2-a-2．

∴抛物线的顶点坐标为（2，-a-2）．

∵点P的坐标为（t，-2）

∴点P在直线y=-2上

依题意得：把抛物线G绕着点P（t，-2）旋转180°后，抛物线G的顶点在新抛物线G′上，且在1≤x≤3内，y随x的增大而增大，抛物线G与新抛物线G′的顶点关于P（t，-2）成中心对称，

∴G′的顶点坐标为（2t-2，a-2）．

①若a＞0，时，新抛物线G′的开口向下，

∴当2t-2≥3时，y随x的增大而增大，

∴t≥2.5．

②若a＜0时，新抛物线G′开口向上，

∴当2t-2≤1时，y随x的增大而增大，

∴t≤1.5．

综上所述，当a＞0时，t的取值范围是t≥2.5；当a＜0时，t的取值范围是t≤1.5．