Question

【题目】已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，

∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，

又∵AE=CF，AB=AC，

∴BE=AF，

∴△BOE≌△AOF

∴S四边形AEOF=S△AOB= OBOA=2

（2）解：∵BC为半圆O的直径，

∴∠BAC=90°，且AB=AC=2 ，

y=S△OEF=S四边形AEOF﹣S△AEF=2﹣ AEAF=2﹣ x（2 ﹣x）

∴y= x2﹣ x+2（0＜x＜2 ）

【解析】（1）先根据BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45°，再根据全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根据S四边形AEOF=S△AOB即可得出答案；（2）先根据圆周角定理求出∠BAC=90°，再根据y=S△OEF=S四边形AEOF﹣S△AEF即可得出答案．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．