Question

【题目】如图，在中，，，，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将沿着边PE折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时BP的长为______．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1，易得S△EFP=S△BEP=S△A′EP，即可得到EF=BE=BF，PF=A′P=A′F．从而可得四边形A′EPB是平行四边形，即可得到BP=A′E，从而可求出BP；②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2，同理可得GP=BG，EG=EA′=1，根据三角形中位线定理可得AP=2=AC，此时点P与点C重合（BP=BC），从而可求出BP．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，

∴AB=4，AE=AB=2，BC=2．

①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1．

由折叠可得S△A′EP=S△AEP，A′E=AE=2，．

∵点E是AB的中点，

∴S△BEP=S△AEP=S△ABP．

由题可得S△EFP=S△ABP，

∴S△EFP=S△BEP=S△AEP=S△A′EP，

∴EF=BE=BF，PF=A′P=A′F．

∴四边形A′EPB是平行四边形，

∴BP=A′E=2；

②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2．

．

同理可得GP=BP=BG，EG=EA′=×2=1．

∵BE=AE，∴EG=AP=1，

∴AP=2=AC，

∴点P与点C重合，

∴BP=BC=2．

故答案为2或2．