Question

【题目】如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是请给出证明，

(3)在(2)的条件下，求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN．

Answer 1

【答案】（1）(1)CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析；（3）4:16:7

【解析】试题分析：（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等，得到CD=BE．（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，则AB=2a；（3）根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比，据此解答即可．

(1)CD=BE．理由如下：　

∵△ABC和△ADE为等边三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o．

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC，

∴△ABE ≌ △ACD．

∴CD=BE．

(2)△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，

∴BM= ．

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，

∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o．

∴△AMN是等边三角形．

(3) 设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC，

∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形，

∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，

∴∠EDC=∠ECD=30o，

∴∠ADC=90o.

∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ，

∴ CD= ．

∵N为DC中点，

∴，

∴．

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN=