Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：

连结OC，如图，

∵OC=OB，

∴∠2=∠B，

∵DQ=DC，

∴∠1=∠Q，

∵QP⊥PB，

∴∠BPQ=90°，

∴∠Q+∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，

∴OC⊥CD，

而OC为⊙O的半径，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：连接AC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，cosB= = = ，

而BP=6，AP=1，

∴BC= ，

在Rt△BPQ中，cosB= = ，

∴BQ= =10，

∴QC=BQ﹣BC=10﹣ = ．

【解析】（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB= = = ，可计算出BC= ，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB= = ，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和解直角三角形，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．