Question

【题目】若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c，若y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当﹣3≤x≤3时，y2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”是y=﹣2（x﹣2）2+1；
（2）解：∵y1=x2﹣3x+1，y2=ax2+bx+c，

∴y1﹣y2=（1﹣a）x2﹣（3+b）x+1﹣c=（1﹣a）[x﹣ ]2+ ．

又y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，y1=x2﹣3x+1=（x﹣ ）2﹣ ，

∴ ，解得 ，

∴y2=2x2﹣6x+ ，

∴y2=2（x﹣ ）2，

∴y2的对称轴为直线x= ，

∵2＞0，且﹣3≤x≤3，

∴当x=﹣3时，y2最大值=2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+ = ．

【解析】（1）根据“对称二次函数”的定义即可求解；（2）根据y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和二次函数的最值，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正确答案．