Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AD=2CD，AC=3，

∴AD=2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，

∴∠A=∠B=45°，AB= = =3 ，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，

∴AE=ADcos45°=2× = ，

∴BE=AB﹣AE=3 ﹣ =2 ，

即线段BE的长为2

（2）

解：过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：

∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，

∴EH=BH=BEcos45°=2 × =2，

∵BC=3，

∴CH=1，

在Rt△CHE中，cot∠ECB= = ，

即∠ECB的余切值为

【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3 ，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE= ，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BEcos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB= 即可．本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．