Question

【题目】阅读理解抛物线上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于C点，与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．

（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；

（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．

①求证：；

②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C（0，1），证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②＜PC＜．

【解析】

试题分析：（1）在直线中，令x=0，即可得到点C的坐标．由AC=AE，得到∠AEC=∠ACE，得到AE∥CO，从而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定义即可证到∠ECF=90°；

（2））①过点P作PH⊥EF于H，分点H在线段EF上（如图2①）和点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上（如图2②）两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到=，即；

②连接CD，PM，如图3．易证CEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM，然后由①中的结论，可得：在△PEF中，有，在△PCD中，有．由MC=EM可得．由PE=PF=3可求得．根据1＜PD＜2可得1＜＜4，即1＜＜4，从而可求出PC的取值范围．

试题解析：（1）当x=0时，y=k0+1=1，则点C的坐标为（0，1），根据题意可得：AC=AE，∴∠AEC=∠ACE，∵AE⊥EF，CO⊥EF，∴AE∥CO，∴∠AEC=∠OCE，∴∠ACE=∠OCE，同理可得：∠OCF=∠BCF，∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，∴2∠OCE+2∠OCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；

（2）①过点P作PH⊥EF于H，Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．

∵M为EF中点，∴EM=FM=EF．根据勾股定理可得：==

==（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）=EM（EH+MH+HF﹣MH）=EMEF=，∴；

Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．同理可得：．

综上所述：当点H在直线EF上时，都有；

②连接CD、PM，如图3．

∵∠ECF=90°，∴CEDF是矩形，∵M是EF的中点，∴M是CD的中点，且MC=EM．

由①中的结论可得：在△PEF中，有，在△PCD中，有，∵MC=EM，∴，∵PE=PF=3，∴，∵1＜PD＜2，∴1＜＜4，∴1＜＜4，∴14＜＜17，∵PC＞0，∴＜PC＜．