Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣ ），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0）

∵抛物线经过（0，2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y= （x﹣4）2﹣

即：y= x2﹣ x+2

当y=0时， x2﹣ x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2，0），B（6，0）

（2）

解：存在，

如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）

∴OB=6，OC=2

∴BC=2 ，

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值为2

（3）

解：如图3，连接ME

∵CE是⊙M的切线

∴ME⊥CE，∠CEM=90°

∵C的坐标（0，2），

∴OC=2，

∵AB=4，

∴ME=2

∴OC=ME=2，

∵∠ODC=∠MDE，

∵在△COD与△MED中

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM

设OD=x

则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

则Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，

∴x2+22=（4﹣x）2

∴x=

∴D（ ，0）

设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵直线CE过C（0，2），D（ ，0）两点，

则

解得：

∴直线CE的解析式为y=﹣ +2；

【解析】（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．