Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；

（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；

（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；

（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；

（3）分和两种情况，计算即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），

（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，

∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，

∴点E（2，3），

过点E作EH⊥BC于点H，

∵OC=OB=3，

∴BC=，

∵，CE=2，

∴，

解得EH=，

∵∠ECH=∠CBO=45°，

∴CH=EH=，

∴BH=2，

∴在Rt△BEH中，；

（3）当点M在点D的下方时

设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），

∴BP=2，DP=4，

∴，

∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，

∴∠CBE=∠BDP，

∵△DMB与△BEC相似，

∴或，

①，

∵DM=4﹣m，，，

∴，

解得，，

∴点M（1，）

②，则，

解得m=﹣2，

∴点M（1，﹣2），

当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．

综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．