Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5

（2）

解：∵点P的横坐标为m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣ m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣ m+3）|=|﹣m2+ m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣ m+3）﹣0|=|﹣ m+3|．

由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15|

①若﹣m2+ m+2= m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m= ；

②若﹣m2+ m+2=﹣（ m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m= 或m= ．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m= 、m= 这两个解均舍去．

∴m=2或m=

（3）

解：假设存在．

作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．

当四边形PECE′是菱形存在时，

由直线CD解析式y=﹣ x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，

∴ ，即 ，解得CE= |m|，

∴PE=CE= |m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+ m+2|

∴|﹣m2+ m+2|= |m|．

①若﹣m2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ；

②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+ ，m2=3﹣ ．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+ 这个解舍去．

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，

此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，

∴P（0，5）

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）

方法二：

若E（不与C重合时）关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE′关于PC轴对称．

∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，

∴DD′⊥CP，∵y=﹣ x+3，

∴D（4，0），CD=5，

∵OC=3，

∴OD′=8或OD′=2，

①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），

∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，

∴ ，

∴2t2﹣7t﹣4=0，

∴t1=4，t2=﹣ ，

②当OD′=2时，D′（0，﹣2），

设P（t，﹣t2+4t+5），

∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，

∴ =﹣1，

∴t1=3+ ，t2=3﹣ ，

∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，

∴﹣1＜t＜5，

∴点P的坐标为（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）．

若点E与C重合时，P（0，5）也符合题意．

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．