Question

【题目】已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；

（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．

Answer 1

【答案】（1）；（2）B（1， ）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；

（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为-4，得B的横坐标为1，所以A（-4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；

（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．

试题解析：（1）如图1，

∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，

∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB=2，AB⊥OC，

∴AC=BC=1，∠BOC=30°，

∴OC=，

∴A（-1， ），

把A（-1， ）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=；

（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，

∵CF∥BG，

∴，

∵AC=4BC，

∴=4，

∴AF=4FG，

∵A的横坐标为-4，

∴B的横坐标为1，

∴A（-4，16a），B（1，a），

∵∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，

∴∠BOE=∠DAO，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△ADO∽△OEB，

∴，

∴，

∴16a2=4，

a=±，

∵a＞0，

∴a=；

∴B（1， ）；

（3）如图3，

设AC=nBC，

由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，

则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），

∴AD=am2n2，

过B作BF⊥x轴于F，

∴DE∥BF，

∴△BOF∽△EOD，

∴，

∴，

∴，DE=am2n，

∴，

∵OC∥AE，

∴△BCO∽△BAE，

∴，

∴，

∴CO==am2n，

∴DE=CO．