Question

【题目】已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ， 衍生直线的解析式是；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3
（2）

解：∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，

∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得 ，

解得 或 ，

∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），

∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．

设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，

∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），

∴1=a（0﹣1）2﹣1，

解得 a=2，

∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．

（3）

解：∵N（0，﹣3），

∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，

∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．

设点P坐标为（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，

OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．

①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，

解得x= 或x= ，即P（ ，﹣2）或P（ ，﹣2）．

②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

综上所述，当P为（ ，﹣2）或（ ，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．

【解析】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），
∴﹣4=a1﹣3，
解得 a=﹣1，
∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴ ，
∴ ，
∴衍生直线为y=﹣x﹣3．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．