Question

【题目】如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）①当t为　 时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）；

②当t为　 时，四边形ACFE是菱形．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)①或8； ②8.

【解析】

（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；

②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=8，由E的速度求出E运动的时间即可．

（1）证明：∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∵在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BC-BF=6-2t（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，

即t=8-2t，

解得：t=；

当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BF-BC=2t-8（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，

即t=2t-8，

解得：t=8；

综上可得：当t=或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=8，

则此时的时间t=8÷1=8（s）．