Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．

（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．

（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．

（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）无论m取何值，点C，D都在直线上，见解析；（3）m的取值范围是m≤﹣或m≥．

【解析】

（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，求出直线被抛物线G截得的线段，再画出两个函数的图象即可；

（2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可；

（3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可．

（1）当m=1时，抛物线G的函数表达式为y=x2+2x，直线的函数表达式为y=x，
直线被抛物线G截得的线段长为，
画出的两个函数的图象如图所示：


（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为C（0，m-1），
∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（-1，-1），
对于直线：y=mx+m-1（m≠0），
当x=0时，y=m-1，
当x=-1时，y=m×（-1）+m-1=-1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；
（3）解方程组，
得 ，或，
∴直线与抛物线G的交点为（0，m-1），（-1，-1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤-或m≥
，
∴m的取值范围是m≤-或m≥．