Question

【题目】如图，已知在正方形ABCD中，F是CD边上一点（不和C，D重合），过点D做DG⊥BF交BF延长线于点G．连接AG，交BD于点E，连接EF，交CD于点M．若DG=6，AG=7 ，则EF的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图作AH⊥BG于H交BC于T，AN⊥GD于N，取BD的中点O，连接OA、OG．

∴∠BAD=∠BGD=90°，

∴OA=OD=OB=OG，

∴A、B、G、D四点共圆，

∴∠AGB=∠ADB=45°，∠AGD=∠ABD=45°，

∴AH=GH，AN=NG，

∵∠N=∠AHG=∠HGN=90°，

∴四边形ANGH是矩形，∵AH=HG，

∴四边形ANGH是正方形，

∵AG=7 ，

∴AH=HG=GN=AN=7，

易证△AND≌△AHB，

∴DN=BH，

∴GD+GB=GN﹣DN+GH+BH=2GN= AG，

∴6+GB=14，

∴GB=8，BD= =10，

∴BH=1，

∵△BHT∽△AHB，

∴BH2=AHHT，

∴HT= ，

∴AT=AH+TH= ，

易证△ABT≌△BCF，

∴AT=BF= ，

∵△BEF∽△BGD，

∴ = ，

∴ = ，

∴EF= ，

所以答案是 ．

【考点精析】关于本题考查的正方形的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．