Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，DE与AB相交于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G．若EF=5，CD=2 ，则△BDG的面积为 ．

Answer 1

【答案】96
【解析】解：过点E作EH⊥AC，垂足为H，连接AE．

∵∠BDE=90°，
∴∠BDC+∠EDH=90°．
又∵∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠EDH．
在△BCD和△DHE中， ，
∴△BCD≌△DHE．
∴BC=DH，CD=EH=2 ．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=CA．
∴AC=DH．
∴DC=AH=2 ．
∴AH=EH=2 ．
∴AE= =4．
∵∠BAC=45°，∠EAH=45°，
∴∠FAE=90°．
∴AF= =3．
∵∠BDF=∠FAE，∠BFD=∠EFA，
∴△BDF∽△EFA．
∴ ．
设DF=x，则BD=DE=x+5．
∴ ．
解得：x=15．
∴DF=15，BD=20．
∴BG= BD=16，DG= =12．
∴ = =96．
故答案为；96．
过点E作EH⊥AC，垂足为H，连接AE．先依据AAS证明△BCD≌△DHE，从而得到BC=DH，CD=EH=2 ，由等腰直角三角形的性质可知BC=CA，从而可证明AH=EH=2 ，由勾股定理可知AE=4．在△EFA中由勾股定理可求得AF=3，由∠BDF=∠FAE，∠BFD=∠EFA可知△BDF∽△EFA，设DF=x，则BD=DE=x+5由相似三角形的性质可知： ．解得：x=15．故此DF=15，BD=20，从而可求得BG= BD=16，DG= =12，最后依据三角形的面积公式求解即可．