Question

【题目】问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ； 迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．

（1）①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
（2）拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：①证明：如图②

∵∠BAC=∠ADE=120°，

∴∠DAB=∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

②解：结论：CD= AD+BD．

理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中，DH=ADcos30°= AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD

（2）解：：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴△ABD，△BDC是等边三角形，

∴BA=BD=BC，

∵E、C关于BM对称，

∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，

∴A、D、E、C四点共圆，

∴∠ADC=∠AEC=120°，

∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等边三角形，

②解：∵AE=5，EC=EF=2，

∴AH=HE=2.5，FH=4.5，

在Rt△BHF中，∵∠BHF=30°，

∴ =cos30°，

∴BF= =3

【解析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；②结论：CD= AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=ADcos30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD，即可解决问题； 拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；
②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BHF=30°，可得 =cos30°，由此即可解决问题．