Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4 ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意抛物线的顶点C（0，4），A（2 ，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，

把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣ x2+4

（2）

解：由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y= （x﹣m）2﹣4，

由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

则有 ，解得2＜m＜2 ，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2

（3）

解：结论：四边形PMP′N能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵点M在y=﹣ x2+4上，

∴m﹣2=﹣ （m+2）2+4，解得m= ﹣3或﹣ ﹣3（舍弃），

∴m= ﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣ x2+4中，2﹣m=﹣ （m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），

∴m=6时，四边形PMP′N是正方形

【解析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（2 ，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2 ，0）代入可得a=﹣ ，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y= （x﹣m）2﹣4，由 ，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有 ，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．