Question

【题目】如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．

（1）证明：BD是⊙O的切线．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为16，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）36.

【解析】（1）BD是⊙O的切线．先连接OB，由于AC是直径，那么∠ABC=90°，于是∠1+∠C=90°，而OA=OB，可得∠1=∠2，结合∠3=∠C，易得∠2+∠3=90°，从而可证DB是⊙O的切线；

（2）由于cos∠BFA=，那么，利用圆周角定理可知∠E=∠C，∠4=∠5，易证△EBF∽△CAF，于是，从而易求△ACF的面积．

（1）BD是⊙O的切线．理由如下：

如图所示，连接OB．

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠C=90°．

∵OA=OB，∴∠1=∠2，∴∠2+∠C=90°．

∵∠3=∠C，∴∠2+∠3=90°，∴DB是⊙O的切线；

（2）在Rt△ABF中．

∵cos∠BFA=．

∵∠E=∠C，∠4=∠5，∴△EBF∽△CAF，

∴，即，解得：S△ACF=22.5．