Question

【题目】在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．

（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为 ．

（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，

①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为 ；

②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；

③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①1；②见解析；③=．

【解析】

试题分析：（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；

（2）①利用线段中垂线的性质得到AN=A′N，再由三角函数求得；

②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N是菱形；

③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，利用三角形相似得到结果．

解：（1）如图1，过点N作NG⊥AB于G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴==1，

∴BN=DM=AD=1，

∵∠DAB=60°，

∴∠NBG=60°

∴BG=，GN=，

∴AN===；

故答案为：；

（2）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，

∵∠DAB=60°AM=2，

∴AN=AM=1，

故答案为：1；

②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，

∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，

∴∠AMN=∠ANM=60°，

∴AM=AN，

∴AM=A′M=AN=A′N，

∴四边形AM A′N是菱形；

③在菱形ABCD中，AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD=60°，

∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，

∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，

∴∠NA′B=∠DMA′，

∴△DMA′∽△BA′N，

∴=，

∵MD=AD=1，A′M=2，

∴=．