Question

【题目】若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C1：与C2顶点相同，
∴ =1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3．
（2）解：如图1所示：

设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．
∴当a= 时，AQ+OQ有最大值，最大值为 ．
（3）解：如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，
，
∴△BCM≌△MDB′
∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．
∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．
∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．
整理得：a2﹣7a﹣10=0．
解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2），
当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．
【解析】解答此题抓住“友好抛物线”满足的条件是两条抛物线的顶点相同。
（1）先求出y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值。
（2） 抓住已知条件AQ⊥x轴，点Q在x轴上，设A（a，-a2+2a+3）．则OQ=a，AQ=-a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后利用配方法可求得OQ+AQ的最值。
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．先证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式，建立方程可求得a的值，从而得到点M的坐标。
【考点精析】解答此题的关键在于理解因式分解法的相关知识，掌握已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势，以及对旋转的性质的理解，了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．