Question

【题目】已知直线 y13x 6与 x 轴、y 轴分别交于点 A，C；过点 C 的直线 y2x b 与 x 轴交于点 B．

（1）b 的值为 ；

（2）若点 D 的坐标为（0，﹣2），将△BCD 沿直线 BC 对折后，点 D 落到第一象限的点 E 处， 求证：四边形 ABEC 是平行四边形；

（3）在直线 BC 上是否存在点 P，使得以 P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 6； (2)见解析； (3)存在，点P的坐标为(4，2)或(8，)

【解析】

(1)先由点C在直线上，求出点C坐标，代入直线中即可；
(2)先求出∠OBC=∠OCB=45°，进而判断出CE∥AB，最后判断出CE=AB即可；
(3) ∠OAD=∠ODA=45，∠OBC=∠OCB=45°，判断出AD∥BC，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，只要AD=PB即可，利用两点之间的距离公式即可得出点P坐标．

(1)∵直线与轴交于点A，与轴交于点C，

令，则，
∴点C的坐标为(0，6)，
∵直线过点C，

将点C的坐标为(0，6)代入，
解得：，
故答案为：6；
(2)当时，直线BC的解析式为，

∵点C的坐标为(0，6)，

∴OC=6，

令得，，
∴点B的坐标为(6，0)，

∴OB=6，
∴OB=OC=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
由折叠的性质得：∠BCE=∠OCB=45°，CE=CD，

∴∠OBC=∠BCE=45，
∴CE∥AB，
由，令得，，
∴点A的坐标为(，0)，

∴OA=2，
∴AB=OA+OB=2+6=8，
∵点D的坐标为(0，)，

∴OD=2，

∴CE=CD=OC+OD=8，

∴CE=AB，

又∵CE∥AB，
∴四边形ABEC为平行四边形；
(3)存在点P，使以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形．

如图，

∵点A的坐标为(，0)、点D的坐标为(0，)，

∴OA=OD=2，

∴，∠OAD=∠ODA=45，
由(2)得：∠OBC=∠BCE=45，

∴∠OBC=∠BCE=∠OAD=∠ODA=45，

∴AD∥BC，

∵直线BC解析式为，且点P在直线BC上，
∴设点P坐标为(，)，
∴

，
∵以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，
∴PB=AD，
∴，

∴，
∴，，
∴P(4，2)或P(8，)，
综上所述，存在点P，使以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形．

点P的坐标为(4，2)或(8，)．