Question

【题目】已知a是大于1的实数，且有a3+a-3=p，a3-a-3=q.

（1）若p+q=4，求p-q的值；

（2）当q2=22n+-2（n≥1，且n是整数）时，比较p与a3+的大小.

Answer 1

【答案】（1）p-q=1; （2）当n=1时，p＞a3+；当n=2时，p=a3+；当n≥3时，p＜a3+.

【解析】

（1）根据已知条件可得a=2，代入可求p-q的值；

（2）根据作差法得到p-（a+）= ，分三种情况：当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．

解：（1）∵a3+ a-3 =p①，a3-a-3=q②，

∴①+②得，2a3=p+q=4，∴a3=2，

①-②得，p-q=2a-3=1；

（2）∵q2=22n+2-2n-2（n≥1，且n是整数），

∴q2=(2n-2-n)2，∴q=2n-2-n.

又由（1）中①+②得2a3=p+q，a3=(p+q)，

①-②得，p-q=2a-3，a-3= (p-q)，

∴p2-q2=4，

p2=q2+4=(2n-2-n)2+4=(2n+2-n)2，

∴p=2n+2-n，

∴a3+a-3=2n+2-n，③

a3-a-3=2n-2-n，④

∴③+④得2a3=2×2n，

∴a3=2n，

∴p-(a3+)=2n+2-n-2n-=2-n-.

当n=1时，p＞a3+；

当n=2时，p=a3+；

当n≥3时，p＜a3+.