Question

【题目】如图，已知已知抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C，且 .

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.
（4）连AC，H是抛物线上一动点，过点H作AC的平行线交x轴于点F，是否这样的点F，使得以A,C,H,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，C（0，3），

将A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax2+bx+3中，

得： ，解得： ．

∴所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+3．

（2）

解：如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，

设E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），

∴EF=-m2-2m+3，BF=m+3，OF=-m，

∴S四边形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF

= （m+3）（-m2-2m+3）+ （-m2-2m+3+3）（-a）

=- m2- m+

=- (m+ )2+ ．

∵a=- ＜0，

∴当m=- 时，S四边形BOCE最大，且最大值为 ，

此时点E的坐标为（- ， ）．

（3）

解：设点P的坐标为（-1，n），过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M．

①当n＞0时，∵∠NP1A1+∠MP1A=∠NA1P1+∠NP1A1=90°，

∴∠NA1P1=∠MP1A，

在△A1NP1与△P1MA中， ，

∴△A1NP1≌△P1MA（AAS），

∴A1N=P1M=n，P1N=AM=2，

∴A1（n-1，n+2），

将A1（n-1，n+2）代入y=-x2-2x+3得：n+2=-（x-1）2-2（n-1）+3，

解得：n=1，n=-2（舍去），

此时P1（-1，1）；

②当n＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合，

∵∠AP2A2=90°，

∴MP2=MA=2，

∴P2（-1，-2），

∴满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）．

（4）

假设存在，设点F的坐标为（t，0），

以A，C，H，F为顶点的平行四边形分两种情况（如图3）：

①当点H在x轴上方时，

∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），

∴H（t-1，3），

∵点H在抛物线y=-x2-2x+3上，

∴3=-（t-1）2-2（t-1）+3，

解得：t1=-1，t2=1（舍去），

此时F（-1，0）；

②当点H在x轴下方时，

∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），

∴H（t+1，-3），

∵点H在抛物线y=-x2-2x+3上，

∴-3=-1（t+1）2-2（t+1）+3，

解得：t3=-2- ，t4=-2+ ，

此时F（-2- ，0）或（-2+ ，0）．

综上可知：存在这样的点F，使得以A，C，H，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，点F的坐标为（-1，0）、（-2- ，0）或（-2+ ，0）．

【解析】（1）由点B的坐标可知OB的长，根据OC=OB，即可得出点C的坐标以及c，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），结合B、O、C点的坐标即可得出BF、OF、OC、EF的长，利用分割图形求面积法即可找出S四边形BOCE关于m的函数关系式，利用配方法以及二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点P的坐标为（-1，n），过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M．分n＞0和n＜0考虑：①当n＞0时，利用相等的边角关系即可证出△A1NP1≌△P1MA（AAS），由此即可得出点A1的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出n值，由此即可得出点P1的坐标；②当n＜0时，结合图形找出点A2的位置，由此即可得出点P2的坐标．综上即可得出结论；（4）假设存在，设点F的坐标为（t，0），分点H在x轴上方和下方两种情况考虑，根据平行四边形的性质结合A、C、F点的坐标即可表示出点H的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出t值，从而得出点F的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分点P的纵坐标大于0和小于0两种情况考虑；（4）分点H在x轴上方和下方考虑．本题属于中档题，（3）（4）难度不小，解决该题型题目时，分类讨论是解题的关键．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和平行四边形的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．