Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D， AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。

（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°，

（2）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，

【解析】（1）由圆周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，又由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和得出∠ABC=∠ACB=67.5°，
∠EBC=22.5°.
（2）连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠CEB=90°，即AD⊥BC；又由等腰三角形的性质得出BD=CD.
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和等腰三角形的性质，需要了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能得出正确答案．