Question

【题目】如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．
（1）当∠A=112°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A=α时，求∠BPC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC中，∠A=112°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣112°=68°，

∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，

∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）= ×68°=34°，

∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣34°=146°

（2）解：如图，连接AP并延长至D，

∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，

∴∠1= ABC，∠3= ∠ACB，

∵∠BPD是△ABD的外角，

∴∠BPD=∠1+∠BAP，

同理可得∠CPD=∠3+∠CAP，

∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠1+∠BAP+∠3+∠CAP= ABC+ ∠ACB+∠BAC= （∠ABC+∠ACB）+α= （180°﹣α）+α=90°+ α．

【解析】（1）先根据三角形内角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，最后由三角形内角和定理，即可求出∠BPC的度数；（2）先连接AP并延长至D，根据∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，求得∠1= ABC，∠3= ∠ACB，最后根据三角形的外角性质，求得∠BPC的度数．
【考点精析】本题主要考查了三角形的内角和外角和三角形的外角的相关知识点，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．