Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且 ．下列结论： ①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或 ；
④CD2=CECA．
其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正确；
作AH⊥BC于H，如图1，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，∵cosB=cosα= = ，
∴BH= ×10=8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6时，CD=10，
∴AB=CD，
∴△ABD≌△DCE，所以②正确；
当∠DEC=90°时，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，
∴点D与点H重合，此时BD=8，
当∠EDC=90°，如图2，

∵△ABD∽△DCE，
∴∠DAB=∠EDC=90°，
在Rt△ABD中，cosB=cosα= = ，
∴BD= = ，
∴△DCE为直角三角形时，BD为8或 ，所以③正确；
∵∠BAD=∠CDE，
而AD不是∠BAC的平分线，
∴∠CDE与∠DAC不一定相等，
∴△CDE与△CAD不一定相似，
∴CD2=CECA不成立，所以④错误．
所以答案是①②③．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．