Question

【题目】如图，已知直线l的解析式为y=x﹣1，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．

（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；

（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2，（﹣4，0）．见解析；（2）S的最大值是12，此时点P的坐标为（﹣2，2）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；

（2）根据四边形PAFB的面积S=ABPF，可得S=﹣（x+2）2+12，根据函数的最值可得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；

（3）根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y=﹣x+1，设Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），将（a，1﹣a）代入y=﹣x+1显然成立，依此即可求解．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点B（2，0），D（1，），

∴，

解得a=﹣，b=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，

∵A（m，0）在抛物线上，

∴0=﹣m2﹣m+2，

解得：m1=﹣4，m2=2（舍去），

∴A点的坐标为（﹣4，0）．

如图所示：

（2）∵直线l的解析式为y=x﹣1，

∴S=ABPF

=×6PF

=3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）

=﹣x2﹣3x+9

=﹣（x+2）2+12，

其中﹣4＜x＜0，

∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（﹣2，2）；

（3）∵直线PB经过点P（﹣2，2），B（2，0），

∴PB所在直线的解析式为y=﹣x+1，

设Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一点，

则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），

将（a，1﹣a）代入y=﹣x+1显然成立，

∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．