Question

【题目】如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们定义：这样的两条抛物L1 ， L2互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．

（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2﹣8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的点D的坐标；
（2）请求出以点D为顶点的L3的友好抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y=a1 （x﹣m）2+n的任意一条友好抛物线的解析式为y=a2 （x﹣h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，

∴y=2（x﹣2）2﹣4，

∴顶点为（2，4），对称轴为x=2，

设x=0，则y=4，

∴C（0，4），

∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）

（2）

解：∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），

∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，

由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大

（3）

解：a1与a2的关系式为a1+a2=0或a1=﹣a2．…8分

理由如下：

∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2 （x﹣h）2+k，

∴y=a2 （x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n过点（h，k），即

k=a1 （h﹣m）2+n…①

n=a2 （m﹣h）2+k…②

由①+②得（a1+a2）（h﹣m）2=0．

又“友好”抛物线的顶点不重合，

∴h≠m，

∴a1+a2=0或a1=﹣a2

【解析】（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h﹣m）2=0．可得a1=﹣a2 ．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．