Question

【题目】正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG；
（3）在（2）的条件下，如果 = ，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，

∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（ASA）

∴AE=AF

（2）解：如图②，连接AG，

∵∠MAN=90°，∠M=45°，

∴∠N=∠M=45°，

∴AM=AN．

∵点G是斜边MN的中点，

∴∠EAG=∠NAG=45°．

∴∠EAB+∠DAG=45°．

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，

∴∠DAF+∠DAG=45°，

即∠GAF=45°，

∴∠EAG=∠FAG．

在△AGE和AGF中，

，

∴△AGE≌AGF（SAS），

∴EG=GF．

∵GF=GD+DF，

∴GF=GD+BE，

∴EG=BE+DG

（3）解：G不一定是边CD的中点．

理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，

∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，

∴CG=CF﹣GF=k+x，

在Rt△ECG中，由勾股定理，得

（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，

解得：x1=2k，x2=3k，

∴CG=4k或3k．

∴点G不一定是边CD的中点．

【解析】（1）由正方形的性质可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性质∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，证明△ABE≌△ADF就可以得出结论；（2）如图2，连结AG，由且点G是斜边MN的中点，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，就有∠EAB+∠DAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，从而得出结论；（3）设AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以x的值而得出结论．
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．