Question

【题目】在△ABC中，CA=CB=3，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．

（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．

（2）在点P滑动的过程中，当AP长度为多少时，△ADP≌△BPC，为什么？

（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请直接写出α的度数．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）当AP=3时，△ADP≌△BPC，理由见解析；（3）当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形

【解析】

（1）由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
（2）当AP=3时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA=CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α=∠APD，根据AP=BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．

（1）当PN∥BC时，∠α=∠NPM=30°，

又∵∠ACB=120°，

∴∠ACP=120°-30°=90°，

∴△ACP是直角三角形；

（2）当AP=3时，△ADP≌△BPC，

理由为：∵∠ACB=120°，CA=CB，

∴∠A=∠B=30°，

又∵∠APC是△BPC的一个外角，

∴∠APC=∠B+α=30°+α，

∵∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD，

∴∠APD=α，

又∵AP=BC=3，

∴△ADP≌△BPC；

（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，

则∠PCD=120°-α，∠CPD=30°，

①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD=∠PDC==75°，即120°-α=75°，

∴∠α=45°；

②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，

∴α=90°；

③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，

∴∠CDP=∠CPD=30°，

∴∠PCD=180°-2×30°=120°，

即120°-α=120°，

∴α=0°，

此时点P与点B重合，点D和A重合，

综合所述：当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．