Question

【题目】已知直线与交于A,B两点,且点A的横坐标为4,过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(点P在第一象限),由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,则点P的坐标为_________.

Answer 1

【答案】或（8，1）

【解析】

作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，设P点坐标为（a，b），先确定A点坐标为（4，2），再利用A点坐标确定反比例函数解析式为y=，根据反比例函数的性质可得到四边形APBQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到S△OPA=S平行四边形APBQ=6，由于S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，化简反比例函数的比例系数的几何意义和梯形的面积公式有8+（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=代入得（2+）（4-a）=12，解得a1=2，a2=-8（舍去），当a=2，b==4，所以P点坐标为（2，4）．

作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,AH⊥x轴于H,如图,

设P点坐标为(a,b)

把x=4代入y=x得y=2,则A点坐标为(4,2)，

把A(4,2)代入y=得k=4×2=8，

所以反比例函数解析式为y=，

∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，

∴OA=OB，OP=OQ，

∴四边形APBQ为平行四边形，

∴S△OPA=S平行四边形APBQ=×24=6，

∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，

∴8+(2+b)(4a)=4+6+4，

∵b=，

∴(2+)(4a)=12，

整理得a2+6a16=0,解得a1=2,a2=8(舍去)，

当a=2,b==4，

∴P点坐标为(2,4).

同理,当四边形BQPA是平行四边形时,点P的坐标是(8,1).

故答案为(2,4)或(8,1).